基本电路概念之(一):什么是电压?

作者:linuxer 发布于:2014-5-16 10:40 分类:基础学科

一、前言

我有一个奇葩儿子(4岁),经常问一些奇葩的问题。比如:为什么电子带负电?什么是电压?电路板是怎么生产的?发动机的内部结构是什么?……总之,各种问题层出不穷。有一天回家,他正和他妈妈一起看几张医学的CT片子(他妈妈是医生),他妈妈正详细向他解释该病人颅部血管病变问题,各种专业术语丝毫也没有浇灭儿子的热情,那认真的劲头,我当时就震惊了。

为了应付我这个奇葩儿子,为了始终维持爸爸的高大形象,我不得不对这个世界有更深层次的思考……这次的主题是:什么是电压?电池为什么能提供电压?

一、如何向小朋友解释电压和电池的概念?

儿子有一套电子积木,无论是让小灯泡亮,让电机转动,让喇叭出声音都需要电池这样一个元件。其他的元件都是有很直观的声音、光或者旋转的表现,只有电池,他不是非常的理解,也是问我:爸爸,电池是什么东西?有什么作用?我回答:电池就是产生电压,压着小电子在电线中跑,小电子在电线中跑,所以可以点亮小灯泡哦。儿子追问:什么是电压?为了让小朋友理解电压,我们一起做起了实验。

实验器材包括:
1、    漏斗一个
2、    一个2米长的导管(导管的截面积要小)
3、    水桶一个
4、    大勺子一个
首先将漏斗底部接上2米长的导管,导管的另外一头插入水桶,水桶事先先接半桶水。将漏斗悬挂到1.8米的高度,用勺子不断的将水从水桶舀到漏斗中,水于是在导管中形成水流,又回到水桶中。我和儿子玩的不亦乐乎,在一起玩的过程中,我顺便向儿子解释:水就类似小电子,一个是在水管中流动,一个是在电线中流动。为了让水持续流动,我们必须不断的用勺子舀水,把水输送到位置比较高的漏斗中。而电池里面也有很多的小勺子,小电子从负极流动到正极,在电池的正极,小勺子会把小电子舀回负极,这样就可以产生电压,让小电子不断的流动了。

二、和工程师讨论电压和电池的相关概念

“电压就是电势差”这是工程师耳熟能详的话,但什么是电势?

我们首先从能量角度来看。正所谓水往低处流,其实就是说“水”倾向于从势能高的地方流向势能低的地方。其位置高,具有更多的势能。当流向势能低的位置的时候,虽然损失了势能,但是获得了动能。这些概念在初中就建立起来的概念,只不过,更准确的说,这里的势能应该是“重力场势能”。

和“重力场势能”概念类似,电势就是“电场势能”。重力场就算你不理解,也能对这个术语有感觉,毕竟每个人都处在地球的重力场中。处于重力场中,只要你有质量,就会收到一个沿着重力场方向的力。那么什么是电场(electric field)?毫无疑问,电场也是和力有关系的,这里就是电场力(库伦力)。我们都知道库仑定律:在真空中两个静止点电荷之间的相互作用力与距离平方成反比,与电量乘积成正比,作用力的方向在它们的连线上,同号电荷相斥,异号电荷相吸。这种静电荷之间的作用力就叫做库伦力。

相信工程师对库仑定律还是有印象的,在此基础上,我们可以展开对电场这个概念的描述。其实电场只是为了描述静电力(库伦力)而引入的一个工具。首先,电场是矢量场(vector field),有方向和大小。将1库伦的电荷放入到电场中的一个点上,那么该点受到的库伦力的大小就是该点的电场强度。我们可以使用电场线(electric field line)来描述电场。例如点电荷的电场如下图(该图片来自WiKi)所示:

180px-VFPt_plus_thumb.svg 180px-VFPt_minus_thumb.svg

上面的图片很好的展示了电场的方向,但是电场的大小没有展示出来。点电荷产生的电场,与距离的平方成反比。当一个携带正电荷的物质处于电场中的时候,该物质会收到一个沿着电场方向的力。了解了电场概念后,再回到静电势能(electrostatic potential energy)这个概念。我们用带正电的点电荷的电场来解释静电势能,如下图所示:

dcf

灰色的正电荷产生了一个电场,充满了整个三维空间。绿色的测试电荷位于无穷远处,并且处于静止状态。现在,我们使用外力推动测试的绿色正电荷逆着电场方向运动,逐渐靠近灰色的电荷。这时候,我们的外力克服了静电力,将该正电荷移动了一段距离,从物理上讲,外力做了功,但是该正电荷开始是静止的,移动了一段距离后仍然是静止的,动能没有变化,那么我做的功上哪里去了?其实功被转化成了势能。 由于电场位置而具备的能量叫做静电势能。

电势(electric potential)定义为处于电场中某个位置的单位电荷所具有的静电势能。如上图,沿着电场方向有两点A和B。如果我们从B点将1库伦的电荷运送到A点,克服电场力做的功是1焦耳,那么A点的电势和B点的电势差就是1V。

OK,我们已经了解了电势差的概念了,现在可以看看电池的内部结构了。我们抽象一个电池和灯泡组成的电路如下:

dc

我们假设电池是由带正电和负电的两块电板组成,当导体连接了电池的正极和负极的时候,由于电势差的作用,电子从负极流向正极(导体中实际流动的是电子,但是由于富兰克林在定义正电和负电的时候是任意定义的,因此有50%的机会让电子的运动方向和电流方向一致,很遗憾,他的定义是反的)。因此,在正极板上会有电中和现象发生,从而导致电势差降低。为了维持电势,在电池内部,必须把电子从正极移动到负极。但是这样的移动是要克服电池内部的电场力做功,必须有其他的能量连强迫这样的电子移动。对于电池,这就是化学能。因此,电池内部,化学能让电子克服电场力从正极移动到负极,在电池外部,电势差导致电子从负极移动到正极,形成电流。

三、基础数学知识

本章节描述了理解电压的相关数学知识,只有了解了本节的数学知识才能理解第四节的内容。

1、方向导数(directional derivative)和梯度(gradient)

我们用三元函数来说明方向导数和梯度,对于n元函数,其概念是类似的。

对于三元函数f(x,y,z),我们定义点(x0,y0,z0)上的偏导数:

clip_image002[1]

该偏导数表示函数值在点(x0,y0,z0)上沿着x轴的变化快慢情况。同理可以定义函数值在点(x0,y0,z0)上沿着y轴和z轴的变化率(也就是对自变量y和z的偏导数)。在处理具体问题的时候,例如在研究气压在某个特定方向上的变化率情况的时候,仅仅定义自变量的偏导数就不能满足要求了。

我们定义一个过(x0,y0,z0)的直线 l 的参数方程如下:

clip_image002[4]

我们定义函数在(x0,y0,z0)点沿直线l的方向导数为:

clip_image004[4]

从上面的定义就可以看出,某点的方向导数实际上就是定义了函数f在该点上沿直线 l 的变化率。

如果f(x,y,z)在(x0,y0,z0)点可微(differentiable),那么:

clip_image006[4]

clip_image008

由于自变量的变化是沿着直线l的方向,因此:

clip_image010 clip_image012 clip_image014 clip_image016

由此可知函数的方向导数可以用函数的各个偏导数计算:

clip_image018

clip_image020是直线 l 的方向余弦。我们可以定义 l 方向上的单位向量:

clip_image022

如果f(x,y,z)可微(differentiable),f(x,y,z)的梯度矢量被定义如下:

clip_image024

由上面的定义可得:

clip_image026

clip_image028是梯度矢量和直线l上单位矢量的夹角。由此可知,梯度矢量的方向就是方向导数取得最大值的方向。而梯度的模就是该方向的方向导数。

三元函数f(x,y,z)在xyz坐标系中,每一个点(x,y,z)都对应一个函数值f(x,y,z),这些函数值是一个标量。这个函数也被称为标量场(scalar field)。函数f的在某点的梯度是一个矢量,其分量就是f在该点的各个坐标轴方向的偏导数(partial derivative)。这样,求一个函数的梯度也就把一个标量场变成梯度矢量场(gradient vector field)。梯度就类似于一元函数的导数(derivative)。

 

2、曲线积分(Line Integral)

在数学中,曲线积分是积分的一种。和普通定积分不一样的是:其积分区间不是自变量的集合,而是特定的曲线,称为积分路径。对于曲线积分而言,被积函数可以是标量函数(标量场)或矢量函数(矢量场)。对于标量场,积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重(一般是弧长)的黎曼和;对于矢量场,积分的值是路径各点上的函数值(该函数值是矢量)与曲线微元矢量的标量积(例如点积)的黎曼和。

我们这里主要关注矢量场的应用场景:考虑变力沿曲线做的功。这时候,曲线上每一个点上的力F是一个矢量。而位移也是一个矢量,这时候可以通过曲线积分来计算变力沿曲线做的功:

clip_image002[5]

clip_image006是位移向量(displacement vector)的微分,clip_image008[1]是力做功的微分。

 

3、保守矢量场

我们用三维空间来描述场、标量场和矢量场的概念,对于n维空间是一样的。

对于一个三维空间中的任意点(x0,y0,z0)都有一个确定的数量f( x0,y0,z0)与之对应,那么我们称函数f( x,y,z)确定了三维空间上的一个标量场(例如温度场)。对于一个三维空间中的任意点(x0,y0,z0)都有一个确定的矢量F( x0,y0,z0)与之对应,那么我们称矢量值函数F( x,y,z)确定了三维空间上的一个矢量场(例如力场,电场)。矢量值函数F( x,y,z)可以进行分解,从而用数量函数表示:

F( x,y,z)=P( x,y,z)i + Q( x,y,z)j + R( x,y,z)k

其中,P、Q、R是数量函数,是矢量函数在x、y、z轴上的投影。

通过求梯度,可以把一个标量场f( x,y,z)变成矢量场,我们记作grad f( x,y,z),这个矢量场就称为梯度场。而原来的那个标量场函数f( x,y,z)就叫做这个梯度场的标势(scalar potential )。在矢量分析中,保守矢量场定义为某些函数的梯度。

在进行曲线积分的时候,我们可以使用微积分基本定理来简化曲线积分的运算:

clip_image002

曲线是从p0到p1。上面的定理可以表述为对梯度场(保守矢量场)的线积分可以用其原函数(scalar potential )来计算。公式是冰冷的,如果带入物理学的概念就比较生动了。左边是保守力沿曲线C做的功,右边是终点的势能减去初始点的势能,这两个数值是相等的。也就意味着保守力沿曲线做的功是和路径无关,只是和起点和终点的位置有关。根据上面的公式,还可以推出:如果曲线C是闭合的(p0等于p1),那么其积分等于0。也就是说,对于保守力场,在闭合曲线上做的功等于0。

既然保守矢量场有这些好的特性,那么如何判断一个vector field是保守的呢?对于,二维空间,如果一个vector field=Mi+Nj在平面上的每一个点都是可微的,并且Nx=My,那么该向量场就是保守场。

 

四、数学的引入

有了section 3的基础,我们可以对section 2中描述的很多概念进行更精确的定义。

1、库仑定律

qq

矢量形式的库仑定律定义如下:

clip_image002[1]

clip_image004是从q2指向q1的单位矢量(unit vector)。

clip_image006[1]是从q2指向q1的矢量。矢量长度等于q1到q2的距离。clip_image008[1]clip_image010[1]分别表示q1和q2的距离矢量。

clip_image012[1]是q2施加给q1的力(是一个vector)

静止点电荷之间的相互作用力遵循库仑定律。又称库仑力(Coulomeb force)或者静电力(electrostatic force)。库仑力满足叠加定理。

静电力作功与路径无关,是保守力(Conservative force),因此我们可以定义势能函数(保守力场的原函数,对该函数求梯度可以得到保守力场)。其势能函数(标量场)定义为:

clip_image014[1]

q1在原点,q2位于空间任意位置,其坐标为(x,y,z),clip_image016[1]

clip_image018[1]

clip_image020[1]

clip_image022[1]

因此,势能函数U的梯度是:

clip_image024[1]

定义clip_image026[1]是径向的单位矢量,那么势能函数U的梯度就是库伦力场(数学上的势能定义和物理学上的势能定义相差一个负号)。因此可以判断静电力场这个矢量场是一个梯度场,也就是说静电力是保守力。

 

2、电场的概念

电场只是为了描述静电力而引入的一个工具。和静电力一样,电场也是矢量。电场是矢量场(vector field),我们定义电场内某一点的电场强度(矢量)等于静电力除以放置于该点的电荷电量。

clip_image002[3]

clip_image004[4]是放置于该点的测试电荷(test charge)的电量。根据电场的定义,电场强度E的单位是N/C,也就是每库伦的电荷在电场中的静电力。我们可以把电场强度和加速度做一个类比:

电场强度 = 静电力/电荷电量

加速度 = 万有引力/质量

对于重力场和静电场,电场强度对于电荷可以类比加速度对于质量。

对于点电荷(point charge),其电场定义如下:

clip_image006[3]

clip_image008[3]是从点电荷的位置指向测试电荷的unit vector。

 

3、 电势能(electric potential energy)和电势(electric potential)

在静电学里,电势能被称作静电势能(electrostatic potential energy)。它是一种由于库伦力而定义的势能(类似针对万有引力定义的引力势能)。它是由在电场中的位置决定的势能。

在计算静电势能的时候,我们需要引入一个参考点。我们定义将电荷从参考位置移动到指定的位置所做的功(work)的负数就是该点的静电势能。在数学上,力沿曲线做的功用曲线积分(line integral)来计算:

clip_image002[5]

clip_image004[6]是静电力。空间中,一个点电荷的电场是一个矢量场,同样的,位于该电场的电荷所受到的静电力也是一个矢量力场。运算符号“.”表示向量的点积(dot product)。clip_image006[5]是位移向量(displacement vector)的微分。一般而言,可以定义无穷远为参考点。

在静电学里,电势(electric potential)定义为处于电场中某个位置的单位电荷所具有的电势能。

clip_image008[5]

电势的单位为V(伏),1V=1J/C(1焦/库)。静电场中电势相等的点构成一些曲面,这些曲面称为等势面。电场线总是与等势面正交,并指向电势降低的方向,因此静电场中等势面的分布就绘出了电场分布。电势场是一个标量场(scale vector field)。

我们可以以点电荷+Q为例来计算电势,假设无穷远的电势等于0。

clip_image010[3]

根据上面的公式,对于正电荷,其电势都是正的,越接近电荷的位置,电势越大,离开电荷越远,电势越小,无穷远处等于0。对于负电荷,其电势都是负的,越接近电荷的位置,电势越小(绝对值大),离开电荷越远,电势越大,无穷远处等于0。

在实际电路中,我们常常使用电压(voltage)这个术语,所谓电压其实就是电势差(electrical potential difference),定义空间中A,B两点的电压如下:

clip_image012[3]


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标签: 电压

评论:

maca
2016-06-07 14:53
想问一下, 同号电荷相斥, 但为什么绿色的电荷会往灰色跑?
haha
2016-06-07 15:02
@maca:因为有外力啊,正因为有外力对绿色电荷做功,因此才会有静电势能啊
可可
2015-08-14 10:56
谢谢分享!(可能是人在慢慢长大,理解力也在逐步提高,看得我直骂自己高中时候怎么那么蠢。)博主的文章写的真好,作为一名刚入职的小驱动er,在漫漫网络中有幸遇到博主这样知识渊博的人,万分感激。
wowo
2015-08-14 12:11
@可可:是啊,现在再让自己去重学那些高中、大学的知识,应该很享受,不像当初那样。
linuxer
2015-08-14 12:20
@可可:我和你一样,也是在惋惜我大学里面的7年的时光都是白费了,浪费了太多的时间(可能是因为年轻吧,反正也是有大把时间浪费)。人总是慢慢成长,随着时间的推移,越来越愿意从更底层去思考、去分析,希望能看到事物的本质。子曰:朝闻道,夕死可矣,让我们一起努力,找到linux的“道”,找到操作系统的“道”,找到自然界的“道”,找到人生的“道”,这样,在和世界说bye bye的时候,我们才可以淡然面对......
维尼
2015-07-29 13:49
楼主应该介绍一下怎么找个医生女朋友 让广大的单身攻城狮和程序猿学习一下
linuxer
2015-07-29 19:38
@维尼:linux kernel技术可以分享,追女朋友的技巧嘛,哈哈,概不外传
动漫情报
2014-05-16 21:56
小孩子的问题,本身就如此

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